Formes exponentielles (1) - Corrigé

Énoncé

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle.

1.  $z_1=5i$

2.  $z_2=1-i$

3.  $z_3=-\sqrt{3}+i$

4.  $z_4=-3$

5.  $z_5=-{\displaystyle \frac{1}{2}}i$

6.  $z_6=4+4i$

7.  $z_7=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$

Correction

1.  On a : $\left|z_1\right|=\left|5i\right|=5$   et donc   $z_1=5(0+1i)=5(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}})=5{\text{e}}^{\frac{i\pi }{2}}.$

2.  On a : $\left|z_2\right|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  et donc
$\begin{array}{rl}{z}_2& =\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos \frac{-\pi }{4}+i\sin \frac{-\pi }{4})=\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{-i\pi }{4}}.\end{array}$
3.  On a : $\left|z_3\right|=|-\sqrt{3}+i|=\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$  et donc
$\begin{array}{rl}{z}_3& =2(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})=2{\text{e}}^{\frac{5i\pi }{6}}.\end{array}$

4.  On a : $\left|z_4\right|=|-3|=3$  et donc 
$\begin{array}{rl}{z}_4& =3(-3+0i)=3(\cos (\pi )+i\sin (\pi ))=3{\text{e}}^{i\pi }.\end{array}$

5.  On a : $\left|z_5\right|=|-{\displaystyle \frac{1}{2}}i|={\displaystyle \frac{1}{2}}$   et donc   $\begin{array}{rl}{z}_5& =\frac{1}{2}(0-1i)=\frac{1}{2}(\cos \frac{-\pi }{2}+i\sin \frac{-\pi }{2})=\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{i\pi }{2}}.\end{array}$

6.  On a :  $z_6=4+4i$  et donc  $\left|z_6\right|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\begin{array}{rl}{z}_6& =4\sqrt{2}(\frac{2}{4\sqrt{2}}+i\frac{2}{4\sqrt{2}})=4\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=4\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=4\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{i\pi }{4}}.\end{array}$

7.  On a : $\left|z_7\right|=|\sqrt{2}+\sqrt{6}i|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{2+6}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  et donc
$\begin{array}{rl}{z}_7& =2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}})=2\sqrt{2}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})=2\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{i\pi }{3}}.\end{array}$